La probabilidad de que el primer jugador (el que recibe la primera carta) tenga una carta del mismo valor que la carta revelada es:
[
1 – frac{binom{48}{10}}{binom{51}{10}} = frac{2033}{4165} approx 0.4881
]
Es decir, aproximadamente **48.81%**.
## Razonamiento
1. **Carta revelada fija**
Supongamos que la carta revelada (la que se saca del mazo después de repartir 20 cartas) tiene un valor determinado, por ejemplo, un As.
2. **Cartas restantes**
De las 51 cartas que quedan (excluyendo la revelada), hay exactamente **3 cartas** con ese mismo valor (por ejemplo, los otros 3 Ases) y **48 cartas** con valores diferentes.
3. **Cartas del primer jugador**
El primer jugador recibe 10 cartas de esas 51 restantes. El conjunto de sus 10 cartas se elige uniformemente entre todos los subconjuntos de 10 de las 51 restantes.
4. **Probabilidad de que no tenga ninguna del mismo valor**
Para que el jugador **no** tenga ninguna carta del mismo valor que la revelada, sus 10 cartas deben elegirse entre las 48 cartas que no comparten dicho valor.
El número de formas de hacerlo es (binom{48}{10}).
El número total de formas de elegir 10 cartas de 51 es (binom{51}{10}).
5. **Probabilidad de que sí tenga al menos una**
La probabilidad de que tenga al menos una carta del mismo valor es el complemento del caso anterior:
[
P = 1 – frac{binom{48}{10}}{binom{51}{10}}
]
6. **Cálculo numérico**
[
frac{binom{48}{10}}{binom{51}{10}} = frac{48!/(10!,38!)}{51!/(10!,41!)} = frac{41 cdot 40 cdot 39}{51 cdot 50 cdot 49} = frac{63960}{124950} = frac{2033}{4165} approx 0.5119
]
Por lo tanto:
[
P = 1 – 0.5119 = 0.4881
]
## Resultado final
[
boxed{0.4881 text{ (48.81%)}}
]